Damien Chablat

The Verne machine

The VERNE machine is a 5-axis machine-tool that was designed by Fatronik for IRCCyN. This machine-tool consists of a parallel module (3dof) and a tilting table (2dof). This parallel module consists of a moving platform that is connected to a fixed base by three non-identical legs. Each leg is made up of one prismatic and two pair spherical joint, which are connected in a way that the combined effects of the three legs lead to an over-constrained mechanism with complex motion. This motion is defined as a simultaneous combination of rotation and translation. The tilting table is used to rotate the workpiece about two orthogonal axes.

 

The kinematics of the Verne machine written by Daniel Kanaan

This technical report derives the forward kinematic equations of the spatial three-degree-of-freedom parallel mechanism.

The forward kinematics deals with the determination of the moving platform position as function of the joint coordinates. For the forward kinematics of our spatial parallel manipulator, the values of the joint coordinates are known and the goal is to find the coordinates X_p, Y_p and Z_p of the tool centre point P. To solve the forward kinematics, we successively eliminate variables , and from the system (sys) of four equations (EQ11, EQ12, EQ3 and EQ5) to lead to an equation function of the joint coordinates (rho1, rho2 and rho3) and function of the orientation angle (alpha) of the platform.

To do so, we first compute Y_p as function Z_p of by subtracting equation (EQ11) from equation (EQ12) and we replace this variable in system (sys) to obtain a new system (sys1) of three equations (sys1[1, 3, 4]) derived from equations (EQ11), (EQ3) and (EQ5) respectively. We then compute Z_p as function of (rho1, rho2, rho3, alpha) by subtracting equation (sys1[3]) from equation (sys1[4]). We replace this variable in system (sys1) to obtain a new system (sys2[2,3]) derived from equations (sys1[3]) and (sys1[4]) respectively. Finally, we compute X_p as function of (rho1, rho2, rho3, alpha) by subtracting equation (sys2[2]) from equation (sys2[3]) and we replace this variable in the system (sys2) in order to eliminate X_p.

To finish the resolution of the system, we perform the tangent-half-angle alpha substitution (t). As a consequence, the forward kinematics of our parallel manipulator results in a eight degree characteristic polynomial in t (poly_t), whose coefficients are relatively large expressions in (rho1, rho2, rho3). For the VERNE machine, only 4 assembly-modes have been found (see verne_o). It was possible to find up to 6 assembly-modes but only for input joint values out of the reachable joint space of the machine.

Only one assembly-mode is actually reachable by the machine (see verne_o[1]) because the other ones lead to either rod crossing, collisions, or joint limit violation.

 

#####Program created by Daniel KANAAN In September 2006#####

Librairie

>    restart:with(linalg):with(Groebner):with(plots):with(DEtools):

		Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

		Warning, the name changecoords has been redefined

		Warning, the previous binding of the name adjoint has been removed and it now has an assigned value

		

Input: Tool length

>    #on peut choisir un longueur d'outil qui varie de 0 à 200 on variant out de 1 à 5
out:=3:

Input: Data

>    r1:=80:r4:=565:R1:=130:R2:=190:
D1:=230:D2:=80:r2:=125:
d1:=550:d2:=-160:r3:=125:
L1:=850:L3:=950:L2:=950:

>    chariots2_3:=[0,1245]:chariots1:=[69,1114]:axe_table:=2005:plateau_table:=2105:
L_outils:=[0,50,100,150,200]:L_parite:=386+10:

Input: Joint coordinates

>    ro1:=674;
ro2:=685;
ro3:=250;

Input: Coordinates

>    d_pl_ou:=L_parite+L_outils[out]:
C_B11:=[X_p+D1,Y_p+R1*cos_alpha,Z_p+R1*sin_alpha]:
C_B12:=[X_p+D1,Y_p-R1*cos_alpha,Z_p-R1*sin_alpha]:
C_B21:=[X_p+D2,Y_p-R2*cos_alpha,Z_p-R2*sin_alpha]:
C_B22:=[X_p+D2-2*r2,Y_p-R2*cos_alpha,Z_p-R2*sin_alpha]:
C_B31:=[X_p+D2-2*r3,Y_p+R2*cos_alpha,Z_p+R2*sin_alpha]:
C_B32:=[X_p+D2,Y_p+R2*cos_alpha,Z_p+R2*sin_alpha]:
C_A11:=[d1,r1,rho1]:C_A12:=[d1,-r1,rho1]:
C_A21:=[d2,-r4,rho2]:C_A22:=[d2-2*r2,-r4,rho2]:
C_A31:=[d2-2*r3,r4,rho3]:C_A32:=[d2,r4,rho3]:
C_u:=[X_p,Y_p-d_pl_ou*sin_alpha,Z_p+d_pl_ou*cos_alpha]:

Equations

>    EQ0:= sin_alpha^2+cos_alpha^2-1;
EQ1[1]:=(C_B11[1]-C_A11[1])^2+(C_B11[2]-C_A11[2])^2+(C_B11[3]-C_A11[3])^2-L1^2;
EQ1[2]:=(C_B12[1]-C_A12[1])^2+(C_B12[2]-C_A12[2])^2+(C_B12[3]-C_A12[3])^2-L1^2;
EQ3:=(C_B21[1]-C_A21[1])^2+(C_B21[2]-C_A21[2])^2+(C_B21[3]-C_A21[3])^2-L2^2;
EQ5:=(C_B32[1]-C_A32[1])^2+(C_B32[2]-C_A32[2])^2+(C_B32[3]-C_A32[3])^2-L3^2;

>    chaine1_1:=Basis([EQ0, EQ1[1], EQ1[2]], plex(sin_alpha, cos_alpha,rho1)):
chaine1_1[2];
chaine1_2:=Basis([EQ0, EQ1[1], EQ1[2]], plex(rho1,sin_alpha, cos_alpha)):
collect(chaine1_2[1],cos_alpha);

Forward kinematic program for the parallel module of the VERNE machine

>    sys:= [EQ1[1], EQ1[2], EQ3, EQ5, sin_alpha^2+cos_alpha^2-1]:
sy:=solve(EQ1[1]-EQ1[2],Y_p);
conds:=[denom(sy)];
sys1:=numer(subs(Y_p=sy,sys)):;

>    #equation lineaire en Z_p
sz:=solve(sys1[3]-sys1[4],Z_p);
conds:=[op(conds),denom(sz)];

>    sys2:=numer(subs(Z_p=sz,sys1)):;

>    sx:=solve(sys2[1]-sys2[3],X_p);
conds:=[op(conds),denom(sx)];

>    sys3:=numer(subs(X_p=sx,sys2)):

>    s_x_t:=subs(sin_alpha=2*t/(1+t^2),cos_alpha=((1-t^2)/(1+t^2)),sx):
simplify(s_x_t);
factor(solve(s_x_t= X_p,X_p)):
s_y_t:=subs(sin_alpha=2*t/(1+t^2),cos_alpha=((1-t^2)/(1+t^2)),sy);
solve(s_y_t= Y_p,Y_p):
s_z_t:=factor(subs(sin_alpha=2*t/(1+t^2),cos_alpha=((1-t^2)/(1+t^2)),sz));
factor(solve(s_z_t= Z_p,Z_p)):

>    p4:=numer(subs(sin_alpha=2*t/(1+t^2),cos_alpha=((1-t^2)/(1+t^2)),sys3[1])):
fp4:=[factors(p4)]:
c4:=[numer(subs(sin_alpha=2*t/(1+t^2),cos_alpha=((1-t^2)/(1+t^2)),conds))]:

>    poly_t:= proc(rho1, rho2, rho3)
- 32 * R2^4 * t^2 * r1^4 - 32 * r4^4 * t^2 * R1^4 + 48 * rho3 * r4 * R2^2 * t^7 * R1^2 * r1^2 - 16 * rho3 * r4 * R2^2 * t^7 * r1 * R1^3 - 464 * rho3 * r4 * R2^2 * t^5 * R1^2 * r1^2 + R2^4 * rho3^2 * R1^2 + r4^4 * rho3^2 * R1^2 + r1^2 * R2^4 * rho3^2 + r1^2 * r4^4 * rho3^2 + 176 * rho2 * R2^3 * t^3 * R1 * r1^3 - 16 * rho2 * R2^3 * t^5 * r1 * R1^3 - 80 * rho2 * R2^3 * t^3 * R1^2 * r1^2 + r1^6 * rho3^2 + 16 * rho2 * R2^3 * t^3 * r1 * R1^3 + r1^6 * rho2^2 - 176 * rho3 * r4 * R2^2 * t^5 * r1 * R1^3 - 4 * rho2^2 * rho3^2 * R1^4 + 256 * rho2 * R2 * r4 * rho3 * t^4 * r1 * R1^3 - 32 * R2^4 * t^6 * r1^4 - 64 * R2^4 * t^4 * r1^4 + 2 * rho2 * rho3^3 * R1^4 + 2 * rho3 * rho2^3 * R1^4 - 64 * r4^4 * t^4 * R1^4 - 32 * r4^4 * t^6 * R1^4 + 464 * rho3 * r4 * R2^2 * t^3 * R1^2 * r1^2 - 176 * rho3 * r4 * R2^2 * t^3 * r1 * R1^3 + 4 * r4 * rho2^3 * t^3 * r1 * R1^3 - 352 * rho3 * R2 * rho2 * r4 * r1 * R1^3 * t^6 + 48 * rho3 * R2 * rho2 * r4 * t^8 * R1^2 * r1^2 - 4 * r1^4 * D1 * d1 * rho3^2 - 4 * r1^4 * D1 * d1 * rho2^2 - 2 * rho2 * r1^4 * L2^2 * rho3 - 2 * rho2 * r1^4 * L3^2 * rho3 + 2 * rho2 * r1^4 * rho3^3 + 2 * rho2^3 * r1^4 * rho3 + 8 * rho3 * rho2^3 * t^2 * R1^2 * r1^2 - 4 * r1^4 * D1^2 * rho3 * rho2 - 352 * rho3 * R2 * rho2 * r4 * t^2 * r1 * R1^3 + 352 * rho3 * R2 * rho2 * r4 * t^2 * R1^2 * r1^2 + 2 * r1^4 * L2^2 * rho3^2 + 2 * r1^4 * L3^2 * rho2^2 - 4 * r1^4 * rho3^2 * rho2^2 - 2 * r1^6 * rho3 * rho2 + 2 * r1^4 * D1^2 * rho3^2 + 2 * r1^4 * D1^2 * rho2^2 + 2 * r1^4 * d1^2 * rho3^2 + 2 * r1^4 * d1^2 * rho2^2 - 2 * rho1 * r1^4 * rho2^3 - 2 * rho1 * r1^4 * rho3^3 - 16 * rho3 * rho2^3 * t^2 * R1 * r1^3 - 2 * r1^4 * L1^2 * rho3^2 - 2 * r1^4 * L1^2 * rho2^2 + 2 * r1^4 * rho1^2 * rho3^2 + 2 * r1^4 * rho1^2 * rho2^2 + 4 * r1^4 * L1^2 * rho3 * rho2 - 16 * R2^2 * r4 * rho3 * t * r1 * R1^3 - 2 * r4^2 * r1^4 * rho3^2 + 8 * rho3 * rho2^3 * t^6 * R1^2 * r1^2 + 8 * rho3 * rho2^3 * t^8 * R1 * r1^3 + 8 * r1^4 * D1 * d1 * rho3 * rho2 + 12 * r4 * rho2^3 * t * r1 * R1^3 - 4 * r1^4 * d1^2 * rho3 * rho2 - 2 * rho1 * r1^4 * L2^2 * rho3 + 2 * rho1 * r1^4 * L2^2 * rho2 + 2 * rho1 * r1^4 * L3^2 * rho3 - 2 * rho1 * r1^4 * L3^2 * rho2 + 2 * rho1 * r1^4 * rho3^2 * rho2 + 2 * rho1 * r1^4 * rho2^2 * rho3 - 12 * r4 * rho2^3 * t * R1^2 * r1^2 + 4 * r4 * rho2^3 * t * R1 * r1^3 + 64 * R2 * r4^3 * t^2 * R1^4 + 8 * D2 * d2 * r1^4 * rho3 * rho2 - 4 * D2 * d2 * r1^4 * rho3^2 - 4 * D2 * d2 * r1^4 * rho2^2 - 64 * d2^2 * L1^2 * t^4 * r4^2 * R1^2 - 64 * d2^2 * L1^2 * t^4 * r1^2 * R2^2 - 32 * d2^2 * L1^2 * t^6 * r4^2 * R1^2 - 32 * d2^2 * L1^2 * t^6 * r1^2 * R2^2 - 8 * d2^2 * L1^2 * t^6 * rho3^2 * r1^2 - 2 * d2^2 * L1^2 * t^8 * rho3^2 * R1^2 - 2 * r4^2 * r1^4 * rho2^2 + 4 * r4^2 * r1^4 * rho3 * rho2 - 48 * R2^2 * r4 * rho3 * t * R1^2 * r1^2 - 4 * r1^4 * rho1^2 * rho3 * rho2 + 2 * D2^2 * r1^4 * rho3^2 + 2 * D2^2 * r1^4 * rho2^2 + 2 * d2^2 * r1^4 * rho3^2 + 2 * d2^2 * r1^4 * rho2^2 + 80 * R2^2 * r4 * rho3 * t * R1 * r1^3 - 4 * D2^2 * r1^4 * rho3 * rho2 - 4 * d2^2 * r1^4 * rho3 * rho2 - 32 * r4^2 * R2^2 * t^2 * r1^4 - 32 * r4^2 * R2^2 * t^6 * r1^4 - 64 * r4^2 * R2^2 * t^4 * r1^4 - 32 * r4^2 * R2^2 * t^2 * R1^4 + 80 * R2 * rho2 * r4^2 * t^7 * r1 * R1^3 + 48 * R2 * rho2 * r4^2 * t^7 * R1^2 * r1^2 + 56 * L2^2 * rho1 * rho2 * t^2 * r1 * R2^2 * R1 - 56 * L2^2 * rho1 * rho2 * t^2 * r4 * R2 * R1^2 + 16 * L2^2 * rho1 * rho2 * t^6 * r1 * r4 * R2 * R1 + 48 * L2^2 * rho1 * rho2 * t^4 * r1 * r4 * R2 * R1 + 16 * L2^2 * rho1 * rho2 * r1 * r4 * R2 * R1 * t^2 + 24 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^3 * R2 * R1 + 24 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^2 * rho3^2 * R2 - 24 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^2 * r4^2 * R2 + 24 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1 * rho3^2 * R2 * R1 - 16 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^2 * r4 * R2^2 + 8 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^2 * R2 * R1^2 - 24 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1^2 * r4 * R1^2 + 8 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1 * r4^2 * R2 * R1 - 8 * L2^2 * rho1 * t^5 * r1 * r4 * R1^3 - 8 * rho3 * rho2^3 * t^4 * R1^2 * r1^2 + 4 * D1 * d2 * rho3^2 * r4^2 * R1^2 + 4 * D1 * d2 * R2^2 * rho3^2 * R1^2 + 4 * D1 * d2 * r1^2 * r4^2 * rho3^2 + 4 * D1 * d2 * r1^2 * R2^2 * rho3^2 - 4 * D1 * d2 * r1 * rho3^4 * R1 + 8 * D1 * d2 * rho2^4 * R1^2 * t^6 - 96 * D1 * d2 * rho3 * R2 * t * R1^2 * r1^2 + 32 * D1 * d2 * rho3 * R2 * t * r1 * R1^3 + 32 * D1 * d2 * rho3 * R2 * t^3 * r1 * R1^3 + 96 * D1 * d2 * rho3 * R2 * t * R1 * r1^3 + 2 * D1 * d2 * t^8 * r1^2 * rho3^4 + 128 * D1 * d2 * t^4 * r4^4 * R1^2 + 12 * D1 * d2 * t^4 * r1^2 * rho3^4 + 2 * D1 * d2 * t^8 * rho3^4 * R1^2 + 64 * D1 * d2 * t^2 * r4^4 * R1^2 + 8 * D1 * d2 * t^2 * r1^2 * rho3^4 + 64 * D1 * d2 * t^2 * r1^2 * R2^4 + 64 * D1 * d2 * t^6 * r4^4 * R1^2 + 8 * D1 * d2 * t^6 * r1^2 * rho3^4 + 64 * D1 * d2 * t^6 * r1^2 * R2^4 + 8 * rho3 * rho2^3 * t^8 * r1 * R1^3 + 12 * rho3 * rho2^3 * t^8 * R1^2 * r1^2 + 48 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * R1^2 * r1^2 - 32 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * t^4 * R1^2 * r1^2 + 32 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * t^8 * r1 * R1^3 + 48 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * t^8 * R1^2 * r1^2 - 8 * d2 * D2 * rho2^4 * r1^2 * t^6 + 32 * d2 * D2 * rho2 * rho3 * t^6 * R1^2 * r1^2 + 8 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * R1^4 - 32 * d2 * D2 * rho3 * rho2 * r1 * R1^3 - 16 * d2 * D2 * rho3^2 * t^6 * R1^2 * r1^2 - 4 * d2 * D2 * t^8 * rho3^2 * r4^2 * R1^2 - 4 * d2 * D2 * t^8 * R2^2 * rho3^2 * R1^2 - 4 * d2 * D2 * t^8 * r1^2 * r4^2 * rho3^2 - 4 * d2 * D2 * t^8 * r1^2 * R2^2 * rho3^2 + 4 * d2 * D2 * rho2^3 * r1^2 * rho3 - 4 * d2 * D2 * t^8 * r1 * rho3^4 * R1 - 8 * d2 * D2 * t^8 * rho3^2 * r4 * R2 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * t^8 * r1 * rho3^2 * r4^2 * R1 - 16 * d2 * D2 * t^8 * r1 * rho3^2 * r4 * R2 * R1 + L2^4 * rho3^2 * r1^2 - 8 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * r1^2 * t^2 + 4 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * R1 * r1 - 12 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * r1^2 * t^4 + 4 * d2^2 * L1^2 * rho2 * r1^2 * rho3 + 4 * d2^2 * L1^2 * rho2 * rho3 * R1^2 - 16 * d2^2 * L1^2 * rho2 * r4 * R1^2 * t^3 + 16 * d2^2 * L1^2 * rho2 * t^7 * r1 * r4 * R1 + 48 * d2^2 * L1^2 * rho2 * t^5 * r1 * r4 * R1 + 16 * d2^2 * L1^2 * t^7 * rho3 * R2 * r1^2 - 4 * d2^2 * L1^2 * t^8 * r1 * rho3^2 * R1 + 48 * d2^2 * L1^2 * t^5 * rho3 * R2 * r1^2 - 8 * d2^2 * L1^2 * t^6 * r1 * rho3^2 * R1 + 8 * d2^2 * L1^2 * t^2 * r1 * rho3^2 * R1 - 8 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * R1 * r1 * t^6 + 8 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * R1 * r1 * t^2 - 2 * d2^2 * L1^2 * rho2^2 * R1^2 * t^8 - 8 * d2^2 * L1^2 * rho3^2 * r1^2 * t^2 + 16 * t^2 * r1^2 * R2^6 - 32 * d2 * d1 * r4 * rho3 * t^5 * R1^4 - 96 * d2 * d1 * r4 * rho3 * t^3 * R1 * r1^3 + 96 * d2 * d1 * r4 * rho3 * t^3 * R1^2 * r1^2 - 16 * d2 * d1 * rho2^3 * t^7 * R2 * R1^2 - 24 * d2 * d1 * rho2^3 * t^7 * R2 * r1^2 + 4 * d2 * d1 * rho2^3 * t^8 * rho3 * R1^2 + 4 * d2 * d1 * rho2^3 * t^8 * r1^2 * rho3 - 40 * d2 * d1 * rho2^3 * t^7 * r1 * R2 * R1 - 32 * d2 * d1 * r4 * rho3 * t^3 * r1 * R1^3 + 32 * d2 * d1 * r4 * rho3 * t^3 * R1^4 - 64 * d2 * d1 * r4^2 * t^2 * R1^4 - 32 * d2 * d1 * R2 * rho2 * t^7 * r1 * R1^3 - 4 * d2 * d1 * rho2^2 * r4^2 * R1^2 - 128 * d2 * d1 * r4^2 * t^4 * R1^4 + 8 * d2 * d1 * rho2 * t^8 * r1 * rho3^3 * R1 + 16 * d2 * d1 * rho2 * t^8 * r1 * rho3 * R2^2 * R1 + 8 * d2 * d1 * rho2 * t^8 * r1^2 * rho3 * R2^2 + 16 * R2^2 * r4 * rho3 * t * R1^4 - 176 * R2 * rho2 * r4^2 * t^5 * R1^2 * r1^2 + 32 * t^4 * r4^6 * R1^2 - 16 * rho1^3 * L3^2 * t * R2 * R1^2 + 16 * rho1^3 * L3^2 * t^3 * R2 * R1^2 - 8 * rho1^3 * L3^2 * t^5 * r4 * R1^2 - 8 * rho1^3 * L3^2 * t^7 * r4 * R1^2 - 2 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * r1^2 * t^8 - 24 * rho1^3 * L3^2 * t^7 * r1 * R2 * R1 + 4 * rho1^3 * L3^2 * t^8 * r1 * rho3 * R1 + 8 * rho1^3 * L3^2 * t^6 * r1 * rho3 * R1 - 8 * rho1^3 * L3^2 * t^2 * r1 * rho3 * R1 - 24 * rho1^3 * L3^2 * t^5 * r1 * R2 * R1 + 4 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * R1 * r1 - 8 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * r1^2 * t^2 + 4 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * R1^2 * t^4 - 12 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * r1^2 * t^4 - 8 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * r1^2 * t^6 - 2 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * R1^2 * t^8 - 2 * rho1^3 * L3^2 * rho2 * R1^2 - 16 * D1 * d2 * rho2^2 * t^2 * r1 * rho3^2 * R1 + 80 * D1 * d2 * rho2^2 * t^3 * rho3 * R2 * R1^2 - 16 * D1 * d2 * rho2^2 * t * rho3 * R2 * R1^2 - 8 * D1 * d2 * rho2^2 * r4 * R2 * R1^2 - 8 * D1 * d2 * r1^2 * rho3^2 * r4 * R2 + 32 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t * r1^4 + 96 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t^7 * R1 * r1^3 + 96 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t^3 * r1^4 + 32 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t^7 * r1^4 + 96 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t^7 * R1^2 * r1^2 + 96 * D1 * d2 * R2 * rho2 * t^5 * r1^4 - 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96 * D1 * D2^3 * rho2 * t^5 * R2 * r1^2 + 32 * D1 * D2^3 * rho2 * r1 * R2 * R1 * t^3 - 16 * D1 * D2^3 * rho3^2 * r1^2 * t^2 + rho2^2 * r4^4 * R1^2 + 48 * L1^2 * r4 * rho2 * t^7 * r1 * R1^3 + 16 * L1^2 * r4 * rho2 * t^5 * R1^4 - 16 * L1^2 * rho2 * t^5 * r4^3 * R1^2 + 112 * L1^2 * rho2 * t^5 * r1^2 * R2^3 + 4 * L1^2 * rho2 * t^4 * rho3^3 * R1^2 - 12 * L1^2 * rho2 * t^4 * r1^2 * rho3^3 + 16 * L1^2 * rho2 * t * r4^3 * R1^2 - 8 * L1^2 * rho2 * t^2 * r1^2 * rho3^3 + 64 * L1^2 * r4 * R2 * r1 * R1^3 * t^6 + 64 * L1^2 * r4 * R2 * t^6 * R1 * r1^3 + 112 * L1^2 * rho2 * t^3 * r1^2 * R2^3 - 16 * L1^2 * rho2 * t^7 * r4^3 * R1^2 - 2 * L1^2 * rho2 * t^8 * rho3^3 * R1^2 - 2 * L1^2 * rho2 * t^8 * r1^2 * rho3^3 - 4 * L1^2 * rho2 * rho3 * r4^2 * R1^2 + 16 * L1^2 * rho2 * t^3 * r4^3 * R1^2 + 64 * L1^2 * r4 * R2 * t^2 * r1 * R1^3 - 128 * L1^2 * r4 * R2 * t^2 * R1^2 * r1^2 + 64 * L1^2 * r4 * R2 * t^2 * R1 * r1^3 + 128 * L1^2 * r4 * R2 * t^4 * R1 * r1^3 - 8 * L1^2 * rho3^2 * t^2 * R1^2 * r1^2 + 8 * L1^2 * rho2 * rho3 * r4 * R2 * R1^2 - 32 * L1^2 * rho2 * t^3 * r1^2 * r4 * R2^2 + 12 * R2 * rho3^3 * t^5 * R1 * r1^3 - 16 * d1^2 * rho2 * t * r1 * r4^3 * R1 - 16 * d1^2 * rho2 * t * r1 * R2^3 * R1 - 12 * d1^2 * rho2 * t * r1 * r4 * rho3^2 * R1 + 8 * d1^2 * rho2 * r1^2 * rho3 * r4 * R2 - 32 * d1^2 * rho2 * t * r4^2 * R2 * R1^2 - 24 * d1^2 * rho2 * t^4 * r1^2 * rho3 * r4^2 - 152 * d1^2 * rho2 * t^4 * r1^2 * rho3 * R2^2 - 16 * d1^2 * rho2 * r1 * rho3 * r4 * R2 * R1 + 8 * d1^2 * rho2 * r1 * rho3 * R2^2 * R1 + 8 * d1^2 * rho2 * r1 * rho3 * r4^2 * R1 + 2 * d1^2 * rho2^2 * rho3^2 * r1^2 - 2 * d1^2 * rho2^3 * rho3 * R1^2 - 2 * d1^2 * rho2^4 * R1 * r1 + 12 * d1^2 * rho2^2 * R1^2 * r1^2 - 8 * d1^2 * rho2^2 * r1 * R1^3 - 8 * d1^2 * rho2^2 * R1 * r1^3 + 8 * d1^2 * rho2^2 * t^2 * r1^4 - 2 * d1^2 * rho2 * rho3^3 * R1^2 + 4 * d1^2 * rho2^4 * R1^2 * t^2 + 32 * d1^2 * r4^2 * t^2 * R1^4 + 2 * d1^2 * rho2^2 * r4^2 * R1^2 + 64 * d1^2 * r4^2 * t^4 * R1^4 + 32 * d1^2 * r4^2 * t^6 * R1^4 + 4 * d1^2 * rho2^4 * r1^2 * t^2 + 2 * d1^2 * rho2^2 * r4^2 * r1^2 + 4 * d1^2 * rho2^4 * r1^2 * t^6 - 4 * d1^2 * rho3 * rho2 * R1^4 - 2 * d1^2 * rho2^3 * r1^2 * rho3 + 64 * d1^2 * t^4 * r1^2 * R2^4 + d1^2 * rho2^4 * R1^2 * t^8 + 4 * rho3^2 * r4 * R2 * R1^4 + 4 * rho3^2 * r4 * R2 * r1^4 - 2 * L2^2 * rho3 * rho2 * R1^4 - 32 * L2^2 * t^4 * r1^2 * R2^4 + 2 * L1^2 * r1^2 * R2^2 * rho3^2 + 64 * L1^2 * t^4 * r4^4 * R1^2 + 32 * L1^2 * t^2 * r4^4 * R1^2 + 32 * L1^2 * t^2 * r1^2 * R2^4 + 32 * L1^2 * t^6 * r4^4 * R1^2 + 32 * L1^2 * t^6 * r1^2 * R2^4 + 4 * L1^2 * rho2^2 * rho3^2 * R1^2 - 2 * L1^2 * rho2^2 * t^8 * R1^4 - 64 * L1^2 * R2^2 * t^4 * r1^4 - 32 * L1^2 * R2^2 * t^6 * r1^4 - 32 * L1^2 * R2^2 * t^2 * r1^4 + 4 * L1^2 * rho2^2 * t^4 * R1^4 - 2 * L1^2 * rho2^2 * t^8 * r1^4 - 2 * L1^2 * rho3^2 * t^8 * R1^4 + 4 * L1^2 * rho3^2 * t^4 * R1^4 - 8 * L1^2 * rho3^2 * t^6 * r1^4 - 2 * L1^2 * rho3^2 * t^8 * r1^4 - 12 * L1^2 * rho3^2 * R1^2 * r1^2 - 12 * L1^2 * rho3^2 * t^4 * r1^4 - 8 * L1^2 * rho3^2 * t^2 * r1^4 + 8 * L1^2 * rho3^2 * R1 * r1^3 - 8 * L1^2 * rho2^2 * t^6 * r1^4 + 8 * L1^2 * rho3^2 * r1 * R1^3 - 12 * L1^2 * rho2^2 * t^4 * r1^4 - 2 * L1^2 * rho2 * r1^2 * rho3^3 + 4 * L1^2 * rho2^2 * rho3^2 * r1^2 + 16 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * R1^2 * t^6 - 4 * d2^2 * rho1^2 * r1 * rho3^2 * R1 + 128 * d2^2 * rho1^2 * t^4 * R2^2 * R1^2 + 64 * d2^2 * rho1^2 * t^6 * R2^2 * R1^2 + 64 * d2^2 * rho1^2 * t^2 * R2^2 * R1^2 + 32 * d2^2 * rho1^2 * r1^2 * R2^2 * t^2 + 12 * d2^2 * rho1^2 * rho3^2 * r1^2 * t^4 + 28 * d2^2 * rho1^2 * rho3^2 * R1^2 * t^4 + 16 * d2^2 * rho1^2 * rho3^2 * R1^2 * t^2 + 32 * d2^2 * rho1^2 * r4^2 * R1^2 * t^2 + 16 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * R1^2 * t^2 + 28 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * R1^2 * t^4 + 8 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * r1^2 * t^2 - 4 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * R1 * r1 + 12 * d2^2 * rho1^2 * rho2^2 * r1^2 * t^4 - 4 * d2^2 * rho1^2 * rho2 * r1^2 * rho3 - 4 * d2^2 * rho1^2 * rho2 * rho3 * R1^2 + 64 * d2^2 * rho1^2 * t^6 * r1 * R2^2 * R1 - 16 * d2^2 * rho1^2 * t^7 * rho3 * R2 * r1^2 + 4 * R2 * rho3^3 * t^5 * R1^2 * r1^2 - 4 * L2^2 * rho2 * t^4 * rho3 * R2^2 * R1^2 - 112 * L2^2 * rho2 * t^4 * r1 * rho3 * r4 * R2 * R1 - 4 * L2^2 * rho2 * t^4 * rho3 * r4^2 * R1^2 - 60 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1^2 * rho3^2 * R2 - 12 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1^2 * r4^2 * R2 - 8 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1^2 * r4 * R2^2 + 4 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1 * r4^2 * R2 * R1 - 40 * L2^2 * rho2 * t^5 * r4^2 * R2 * R1^2 + 4 * L2^2 * rho2 * t^5 * r4 * R2^2 * R1^2 + 84 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1 * r4 * R2^2 * R1 - 4 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1 * R2^3 * R1 + 12 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1 * r4^3 * R1 + 12 * L2^2 * rho2 * t^5 * r1 * r4 * rho3^2 * R1 + 4 * L2^2 * rho2 * t^5 * r4 * rho3^2 * R1^2 + 16 * L2^2 * rho2 * t^5 * rho3^2 * R2 * R1^2 - 16 * L2^2 * rho2 * t^6 * rho3 * R1 * r1^3 + 8 * L2^2 * rho2 * t^6 * r1^2 * rho3 * r4 * R2 + 8 * L2^2 * rho2 * t^6 * r1^2 * rho3 * r4^2 + 8 * L2^2 * rho2 * t^7 * r4^2 * R2 * R1^2 - 4 * L2^2 * rho2 * t^7 * r1 * R2^3 * R1 - 12 * d2 * D2 * t^4 * r1^2 * rho3^4 - 2 * d2 * D2 * t^8 * rho3^4 * R1^2 - 64 * d2 * D2 * t^2 * r4^4 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * t^2 * r1^2 * rho3^4 - 64 * d2 * D2 * t^2 * r1^2 * R2^4 - 64 * d2 * D2 * t^6 * r4^4 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * t^6 * r1^2 * rho3^4 - 64 * d2 * D2 * t^6 * r1^2 * R2^4 - 12 * d2 * D2 * t^4 * rho3^4 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * t^6 * rho3^4 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * t^2 * rho3^4 * R1^2 - 8 * d2 * D2 * rho2^2 * t^8 * r1 * R2^2 * R1 - 8 * d2 * D2 * rho2^2 * t^8 * r1^2 * r4 * R2 + 56 * d2 * D2 * rho2^2 * t^7 * r1 * rho3 * R2 * R1 - 8 * d2 * D2 * rho2^2 * t^8 * r1 * r4^2 * R1 - 8 * d2 * D2 * rho2^2 * t^8 * r4 * R2 * R1^2 + 56 * d2 * D2 * rho2^2 * t^5 * r1 * rho3 * R2 * R1 - 16 * d2 * D2 * rho2^2 * t^6 * r1^2 * r4 * R2 - 4 * d2 * D2 * rho2^2 * rho3^2 * R1^2 + 16 * d1^2 * L1^2 * rho2 * t^5 * r4 * R1^2 + 16 * d1^2 * L1^2 * rho2 * t^7 * r4 * R1^2 + 16 * d1^2 * L1^2 * r4 * rho3 * R1^2 * t^3 + 48 * d1^2 * L1^2 * r1^2 * rho3 * R2 * t^3 + 16 * d1^2 * L1^2 * r1^2 * rho3 * R2 * t + 16 * d1^2 * L1^2 * r4 * rho3 * R1^2 * t + 8 * L2^2 * L3^2 * t^6 * r4^2 * R1^2 - 12 * R2 * rho3^3 * t^3 * R1 * r1^3 - 32 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t * r1^4 - 96 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t^7 * R1 * r1^3 - 96 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t^3 * r1^4 - 32 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t^7 * r1^4 - 96 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t^7 * R1^2 * r1^2 - 96 * D1 * d1 * R2 * rho2 * t^5 * r1^4 - 12 * d2 * D2 * rho2^4 * r1^2 * t^4 - 4 * d2 * D2 * rho3^2 * r4^2 * R1^2 - 4 * d2 * D2 * R2^2 * rho3^2 * R1^2 - 4 * d2 * D2 * r1^2 * r4^2 * rho3^2 - 4 * d2 * D2 * r1^2 * R2^2 * rho3^2 + 4 * d2 * D2 * r1 * rho3^4 * R1 - 8 * d2 * D2 * rho2^4 * R1^2 * t^6 + 96 * d2 * D2 * rho3 * R2 * t * R1^2 * r1^2 - 32 * d2 * D2 * rho3 * R2 * t * r1 * R1^3 - 32 * d2 * D2 * rho3 * R2 * t^3 * r1 * R1^3 - 96 * d2 * D2 * rho3 * R2 * t * R1 * r1^3 - 2 * d2 * D2 * t^8 * r1^2 * rho3^4 - 128 * d2 * D2 * t^4 * r4^4 * R1^2 - 16 * d1 * d2^3 * rho2^2 * R1 * r1 * t^6 + 16 * d1 * d2^3 * rho2^2 * R1 * r1 * t^2 - 4 * d1 * d2^3 * rho2^2 * R1^2 * t^8 + 8 * d1 * d2^3 * rho2 * t^8 * r1^2 * rho3 + 8 * d1 * d2^3 * rho2 * t^8 * rho3 * R1^2 - 32 * d1 * d2^3 * rho2 * t^7;
end proc:

>    poly_x_t:= proc(rho1, rho2, rho3, t)
d1^2 * rho3 * R1 * t^4 + D2^2 * rho3 * R1 * t^4 + d2^2 * rho3 * R1 * t^4 + 4 * t^3 * D2^2 * R1 * r4 + 4 * t^3 * d2^2 * R1 * r4 - 3 * r1 * t^4 * R1^2 * rho3 - 4 * r1 * t^3 * r4^2 * R2 - 2 * t^3 * R1 * r4 * L3^2 - 2 * t^3 * R1 * r4 * L2^2 + 4 * t^3 * rho1^2 * R1 * r4 - 4 * t^3 * D1^2 * R1 * r4 + 2 * rho2^2 * R1 * t^3 * r4 - r1 * R2^2 * t^4 * rho2 - 4 * t^3 * d1^2 * R1 * r4 + 2 * rho3^2 * R1 * t^3 * r4 + 4 * t^3 * L1^2 * R1 * r4 - 4 * r1 * t^3 * L1^2 * R2 - 4 * r1 * t^3 * d2^2 * R2 - 4 * r1^2 * R1 * t^3 * r4 + 4 * r1 * t^3 * D1^2 * R2)/( - r1 * D2 * rho2 * t^2 - 4 * r1 * t * D2 * R2 + 4 * r1 * t * d2 * R2 + r1 * d1 * rho3 * t^2 + 4 * r1 * t * D1 * R2 - 4 * t * d2 * R1 * r4 - 4 * r1 * t * d1 * R2 + r1 * d2 * rho2 * t^2 + 4 * t * D2 * R1 * r4 + 4 * t * d1 * R1 * r4 - r1 * d2 * rho3 * t^2 - 4 * t * D1 * R1 * r4 - r1 * d1 * rho2 + r1 * D1 * rho2 + r1 * D2 * rho3 - r1 * D1 * rho3 + r1 * d1 * rho3 - r1 * D2 * rho2 + r1 * d2 * rho2 + r1 * D2 * rho3 * t^2 - r1 * d1 * rho2 * t^2 + r1 * D1 * rho2 * t^2 + D2 * R1 * rho2 - D2 * R1 * rho2 * t^2 - d1 * rho3 * R1 - r1 * D1 * rho3 * t^2 + d1 * rho2 * R1 - d1 * rho2 * R1 * t^2 + D1 * rho3 * R1 - D1 * rho3 * R1 * t^2 - D2 * R1 * rho3 + d1 * rho3 * R1 * t^2 - d2 * R1 * rho2 + d2 * R1 * rho2 * t^2 + D2 * R1 * rho3 * t^2 + d2 * R1 * rho3 - d2 * R1 * rho3 * t^2 - D1 * rho2 * R1 + D1 * rho2 * R1 * t^2 - r1 * d2 * rho3)/(1 + t^2);
end proc;

>    poly_y_t:= proc(rho1, rho2, rho3, t, Z_p)
-2*R1*t/(1+t^2)*(-Z_p+rho1)/(-R1*(1-t^2)/(1+t^2)+r1);
end proc;

>    poly_z_t:= proc(rho1, rho2, rho3, t)
1/2*(r1*rho2^2-r1*L2^2+rho3^2*R1-r1*rho3^2+r1*L3^2-L3^2*R1+r1*rho2^2*t^4-2*r1*rho3^2*t^2-r1*rho3^2*t^4+4*r1*t*R2*rho2+4*r1*t*R2*rho3+rho2^2*R1*t^4+4*t^3*R2*rho3*R1+4*t^3*R2*rho2*R1-4*t*R2*rho3*R1+4*r1*t^3*R2*rho2+4*r1*t^3*R2*rho3-4*t*R2*rho2*R1-rho2^2*R1+2*r1*rho2^2*t^2-rho3^2*R1*t^4-2*r1*L2^2*t^2+2*r1*L3^2*t^2+r1*L3^2*t^4-R1*L2^2*t^4-r1*L2^2*t^4+L3^2*R1*t^4+R1*L2^2-8*t*rho1*R1*r4-8*t^3*R2*R1*rho1-8*t^3*rho1*R1*r4+8*t*R2*R1*rho1)/(4*r1*t*R2-4*t*R1*r4+r1*rho2-r1*rho3+r1*rho2*t^2-r1*rho3*t^2+rho3*R1-rho3*R1*t^2-rho2*R1+rho2*R1*t^2)/(1+t^2);
end proc;

>    poly_t(ro1, ro2, ro3);

>    sol_t:=[fsolve(poly_t(ro1, ro2, ro3),t)];

>    sol_alpha:=seq(arctan(sol_t[i]),i=1..4)*2;

>    nb_t:=nops(sol_t);

>    for i from 1 by 1 to nb_t do
sol_x[i]:=poly_x_t(ro1, ro2, ro3,sol_t[i]);
sol_z[i]:=poly_z_t(ro1, ro2, ro3,sol_t[i]);
sol_y[i]:=poly_y_t(ro1, ro2, ro3,sol_t[i], poly_z_t(ro1, ro2, ro3,sol_t[i]));
end do:

>    [seq(sol_x[i],i=1..nb_t)];
[seq(sol_z[i],i=1..nb_t)];
[seq(sol_y[i],i=1..nb_t)];

Variables

>    for i from 1 by 1 to nb_t do
coordonnees[i]:=[sol_x[i],sol_y[i],sol_z[i],arctan((2*sol_t[i])/(1+sol_t[i]^2),(1-sol_t[i]^2)/(1+sol_t[i]^2))];
end do:

>    for i from 1 by 1 to nb_t do
valeur_X[i]:=coordonnees[i][1]:
valeur_Y[i]:=coordonnees[i][2]:
valeur_Z[i]:=coordonnees[i][3]:
v_cosinus_alpha[i]:=evalf(cos(coordonnees[i][4])):
v_sinus_alpha[i]:=evalf(sin(coordonnees[i][4])):
valeur_rho11[i]:=ro1:
valeur_rho12[i]:=ro1:
valeur_rho2[i]:=ro2:
valeur_rho3[i]:=ro3:
end do:

>    j:=4:
eval(EQ1[1],{X_p=valeur_X[j],Y_p=valeur_Y[j],Z_p=valeur_Z[j],cos_alpha=v_cosinus_alpha[j],sin_alpha=v_sinus_alpha[j],rho1=valeur_rho11[j]});
eval(EQ1[2],{X_p=valeur_X[j],Y_p=valeur_Y[j],Z_p=valeur_Z[j],cos_alpha=v_cosinus_alpha[j],sin_alpha=v_sinus_alpha[j],rho1=valeur_rho12[j]});
eval(EQ3,{X_p=valeur_X[j],Y_p=valeur_Y[j],Z_p=valeur_Z[j],cos_alpha=v_cosinus_alpha[j],sin_alpha=v_sinus_alpha[j],rho2=valeur_rho2[j]});
eval(EQ5,{X_p=valeur_X[j],Y_p=valeur_Y[j],Z_p=valeur_Z[j],cos_alpha=v_cosinus_alpha[j],sin_alpha=v_sinus_alpha[j],rho3=valeur_rho3[j]});

>    coord_ou:=[X_p,Y_p-d_pl_ou*sin_alpha,Z_p+d_pl_ou*cos_alpha]:
for i from 1 by 1 to nb_t do
valeur_Xou[i]:=eval(coord_ou[1],{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_You[i]:=eval(coord_ou[2],{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_Zou[i]:=eval(coord_ou[3],{Z_p=valeur_Z[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
v_C_B11:=eval(C_B11,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B11[i,1]:=v_C_B11[1];valeur_C_B11[i,2]:=v_C_B11[2];valeur_C_B11[i,3]:=v_C_B11[3];
v_C_B12:=eval(C_B12,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B12[i,1]:=v_C_B12[1];valeur_C_B12[i,2]:=v_C_B12[2];valeur_C_B12[i,3]:=v_C_B12[3];
v_C_B21:=eval(C_B21,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B21[i,1]:=v_C_B21[1];valeur_C_B21[i,2]:=v_C_B21[2];valeur_C_B21[i,3]:=v_C_B21[3];
v_C_B22:=eval(C_B22,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B22[i,1]:=v_C_B22[1];valeur_C_B22[i,2]:=v_C_B22[2];valeur_C_B22[i,3]:=v_C_B22[3];
v_C_B31:=eval(C_B31,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B31[i,1]:=v_C_B31[1];valeur_C_B31[i,2]:=v_C_B31[2];valeur_C_B31[i,3]:=v_C_B31[3];
v_C_B32:=eval(C_B32,{Z_p=valeur_Z[i],X_p=valeur_X[i],Y_p=valeur_Y[i],cos_alpha=v_cosinus_alpha[i],sin_alpha=v_sinus_alpha[i]});
valeur_C_B32[i,1]:=v_C_B32[1];valeur_C_B32[i,2]:=v_C_B32[2];valeur_C_B32[i,3]:=v_C_B32[3];
v_C_A11:=eval(C_A11,{rho1=valeur_rho11[i]});
valeur_C_A11[i,1]:=v_C_A11[1];valeur_C_A11[i,2]:=v_C_A11[2];valeur_C_A11[i,3]:=v_C_A11[3];
v_C_A12:=eval(C_A12,{rho1=valeur_rho12[i]});
valeur_C_A12[i,1]:=v_C_A12[1];valeur_C_A12[i,2]:=v_C_A12[2];valeur_C_A12[i,3]:=v_C_A12[3];
v_C_A21:=eval(C_A21,{rho2=valeur_rho2[i]});
valeur_C_A21[i,1]:=v_C_A21[1];valeur_C_A21[i,2]:=v_C_A21[2];valeur_C_A21[i,3]:=v_C_A21[3];
v_C_A22:=eval(C_A22,{rho2=valeur_rho2[i]});
valeur_C_A22[i,1]:=v_C_A22[1];valeur_C_A22[i,2]:=v_C_A22[2];valeur_C_A22[i,3]:=v_C_A22[3];
v_C_A31:=eval(C_A31,{rho3=valeur_rho3[i]});
valeur_C_A31[i,1]:=v_C_A31[1];valeur_C_A31[i,2]:=v_C_A31[2];valeur_C_A31[i,3]:=v_C_A31[3];
v_C_A32:=eval(C_A32,{rho3=valeur_rho3[i]});
valeur_C_A32[i,1]:=v_C_A32[1];valeur_C_A32[i,2]:=v_C_A32[2];valeur_C_A32[i,3]:=v_C_A32[3];
long3[i]:=((valeur_C_A32[i,1]-valeur_C_B32[i,1])^2+(valeur_C_A32[i,2]-valeur_C_B32[i,2])^2+(valeur_C_A32[i,3]-valeur_C_B32[i,3])^2)^(1/2):
long2[i]:=((valeur_C_A22[i,1]-valeur_C_B22[i,1])^2+(valeur_C_A22[i,2]-valeur_C_B22[i,2])^2+(valeur_C_A22[i,3]-valeur_C_B22[i,3])^2)^(1/2):
long12[i]:=((valeur_C_A12[i,1]-valeur_C_B12[i,1])^2+(valeur_C_A12[i,2]-valeur_C_B12[i,2])^2+(valeur_C_A12[i,3]-valeur_C_B12[i,3])^2)^(1/2):
long11[i]:=((valeur_C_A11[i,1]-valeur_C_B11[i,1])^2+(valeur_C_A11[i,2]-valeur_C_B11[i,2])^2+(valeur_C_A11[i,3]-valeur_C_B11[i,3])^2)^(1/2):
end do:

>    seq(long11[i],i=1..nb_t);
seq(long12[i],i=1..nb_t);
seq(long2[i],i=1..nb_t);
seq(long3[i],i=1..nb_t);

>    X_pmax:=solve(C_B11[1]-C_A11[1],X_p);
X_pmin:=solve(C_B31[1]-C_A31[1],X_p):
Y_pmin:=solve(eval(C_A32[2]-C_B32[2]-L3,cos_alpha=1),Y_p);
Y_pmax:=solve(eval(C_B21[2]-C_A21[2]-L2,cos_alpha=1),Y_p);

Animation of the parallel module of the VERNE machine

>    for i from 1 by 1 to nb_t do
verne_o1[i]:=polygonplot3d({
[[valeur_C_A11[i,1],Y_pmax+R2,plateau_table], [valeur_C_A11[i,1],Y_pmin-R2,plateau_table],
[valeur_C_A31[i,1],Y_pmin-R2,plateau_table], [valeur_C_A31[i,1],Y_pmax+R2,plateau_table]],
[[valeur_X[i],valeur_Y[i],valeur_Z[i]], [valeur_Xou[i],valeur_You[i],valeur_Zou[i]]],
[[valeur_C_A11[i,1],valeur_C_A11[i,2],chariots1[2]] ,[valeur_C_A12[i,1],valeur_C_A12[i,2],chariots1[2]],
[valeur_C_A12[i,1],valeur_C_A12[i,2],chariots1[1]], [valeur_C_A11[i,1],valeur_C_A11[i,2],chariots1[1]]],
[[valeur_C_A21[i,1],valeur_C_A21[i,2]-10,valeur_C_A21[i,3]] ,[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]-10,valeur_C_A22[i,3]],
[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]+10,valeur_C_A22[i,3]],[valeur_C_A21[i,1],valeur_C_A21[i,2]+10,valeur_C_A21[i,3]]],
[[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]-80,chariots2_3[2]] ,[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]+80,chariots2_3[2]],
[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]+80,chariots2_3[1]] ,[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2]-80,chariots2_3[1]]],
[[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]-10,valeur_C_A31[i,3]] ,[valeur_C_A32[i,1],valeur_C_A32[i,2]-10,valeur_C_A32[i,3]],
[valeur_C_A32[i,1],valeur_C_A32[i,2]+10,valeur_C_A32[i,3]],[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]+10,valeur_C_A31[i,3]]],
[[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]-80,chariots2_3[2]] ,[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]+80,chariots2_3[2]],
[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]+80,chariots2_3[1]] ,[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2]-80,chariots2_3[1]]],
[[valeur_C_A11[i,1],valeur_C_A11[i,2],valeur_C_A11[i,3]],[valeur_C_A12[i,1],valeur_C_A12[i,2],valeur_C_A12[i,3]]],
[[valeur_C_A11[i,1],valeur_C_A11[i,2],valeur_C_A11[i,3]],
[valeur_C_B11[i,1],valeur_C_B11[i,2],valeur_C_B11[i,3]]],
[[valeur_C_A12[i,1],valeur_C_A12[i,2],valeur_C_A12[i,3]],
[valeur_C_B12[i,1],valeur_C_B12[i,2],valeur_C_B12[i,3]]],
[[valeur_C_A21[i,1],valeur_C_A21[i,2],valeur_C_A21[i,3]],
[valeur_C_B21[i,1],valeur_C_B21[i,2],valeur_C_B21[i,3]]],
[[valeur_C_A22[i,1],valeur_C_A22[i,2],valeur_C_A22[i,3]],
[valeur_C_B22[i,1],valeur_C_B22[i,2],valeur_C_B22[i,3]]],
[[valeur_C_A31[i,1],valeur_C_A31[i,2],valeur_C_A31[i,3]],
[valeur_C_B31[i,1],valeur_C_B31[i,2],valeur_C_B31[i,3]]],
[[valeur_C_A32[i,1],valeur_C_A32[i,2],valeur_C_A32[i,3]],
[valeur_C_B32[i,1],valeur_C_B32[i,2],valeur_C_B32[i,3]]]},axes=boxed, orientation=[-54,-102]):

verne_o2[i]:=polygonplot3d({[[valeur_C_B11[i,1],valeur_C_B11[i,2],valeur_C_B11[i,3]],
[valeur_C_B12[i,1],valeur_C_B12[i,2],valeur_C_B12[i,3]],
[valeur_C_B21[i,1],valeur_C_B21[i,2],valeur_C_B21[i,3]],
[valeur_C_B22[i,1],valeur_C_B22[i,2],valeur_C_B22[i,3]],
[valeur_C_B31[i,1],valeur_C_B31[i,2],valeur_C_B31[i,3]],
[valeur_C_B32[i,1],valeur_C_B32[i,2],valeur_C_B32[i,3]]]},color=blue,axes=boxed, orientation=[-54,-102]):
verne_o[i]:=display([verne_o1[i],verne_o2[i]]):
end do:
#,title="VERNE"

>    animation_graphe:=proc(o,graphe)
if o=1 then graphe[1]; else if o=2 then graphe[2]; else if o=3 then graphe[3]; else if o=4 then graphe[4]; else if o=5 then graphe[5]; else if o=6 then graphe[6]; else if o=7 then graphe[7]; else if o=8 then graphe[8]; end if;end if;;end if; end if; end if; end if; end if; end if; end proc:

>    animate_verne_o:=animate(animation_graphe,[o,verne_o],o=1..nb_t,frames=nb_t):
animate_verne_o;

>    verne_o[1];

>    verne_o[2];

>    verne_o[3];

>    verne_o[4];